Un equipo de liga menor de una organización juega el 70% de sus partidos en la noche y el 30% durante el día, el equipo gana el 50% de sus juegos nocturnos y el 90% de los diurnos, de acuerdo con esto el equipo gano ayer ¿Cuál es la probabilidad de que el partido se haya desarrollado en la noche?
El siguiente teorema denominado teorema probabilidad total o regla de eliminación permite hallar la probabilidad de un evento A cuando el espacio muestral S sea dividido en varios eventos B1,B2,B3,… hasta Bx.
Si los eventos B1, B2, B3….Bk constituyen una división muestral del espacio S de tal forma que la probabilidad de Bi ≠ 0 para i=1,2,3, …, k, entonces, para cualquier evento A en S se tiene lo siguiente.
P (A) = ∑ki=1 P (Bi) * P (A)(Bi) = ∑ki=1 P (A n Bi)
r =3
i = 1, 2, 3
Si un suceso se puede obtener por mas de un camino del diagrama de árbol, su probabilidad se obtiene sumando las probabilidades de todos los caminos de ese suceso.
Este resultado se puede generalizar del siguiente modo:
Sean A1,A2,.......,An un sistema completo de sucesos tal que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquiera para el que se conocen las probabilidades de B/A1, entonces la probabilidad del suceso B vine dada por la siguiente expresión, resultado que se conoce como el Teorema de Probabilidad Total
EJEMPLOS
TEOREMA DE BAYES
Sea A1, A2,....... An, un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquiera para el que se conocen las probabilidades P(A/B). El teorema de Bayes establece que las probabilidades P(A1/B) vienen dadas por la siguiente expresión:
1. Un estudios sobre los gustos musicales de los estudiantes en una universidad, se encuestó un total de 70 estudiantes, quienes manifestaron sus gustos de la siguiente manera:
20 la música Salsa 23 el Rock 40 las Baladas 10 Baladas y Salsa 13 Baladas y Rock
13 Baladas y Rock 5 Rock y Salsa3 Salsa, Rock y las Baladas
Mediante un diagrama de Venn determine el número de estudiantes que les gusta:
a. Solamente baladas
b. La Salsa y el Rock pero no las baladas
c. El Rock y las Baladas pero no la Salsa
R/
2. Un producto se arma en tres etapas. En la primera etapa hay 5 lineas de armado, en la segunda 4 lineas de armado y en la tercera 6 lineas de armado. ¿ De cuantas formas puede moverse el producto en el proceso de armado ?
R/
Principio de la Multiplicación
5*4*6 = 120
3. En Colombia las placas de los carros están formados por tres números y tres letras.
a. ¿ Cuántas placas se pueden generar en estas condiciones?
R/
Se puede escoger de 10 maneras diferentes así que:
3 números 10*10*10 = 1000
3 letras 26 maneras diferentes
26*26*26 = 17576
17576*1000 = 17576000
b. En el caso que para una ciudad como Medellín se asignen solamente las placas cuya primera letra es M o N. ¿ Cuantos automóviles pueden estar matriculados en Medellin?
R/
Las letras serian 24 entonces se dice que:
24*24*24 = 13824 + 1000 = 13824000
4.Un vendedor de automóviles nuevos quiere impresionar a sus clientes potenciales con la cantidad posible de diferentes combinaciones de que se dispone. Un modelo presenta tres tipos de motores, dos transmisiones, cinco colores de carrocería y dos colores de interiores. ¿ Cuantas posibilidades de elección existen respecto a estas opciones?
R/
Principio de la Multiplicación
3*2*5*2 = 60 posibilidades de elección
5. Explique la diferencia entre Permutaciones y Combinaciones
R/
6. Se juegan 5 dados ¿ De cuantas maneras pueden caer?
7.En un concurso de belleza se suele escoger primero 15 semifinalistas y luego se eligen 5 finalistas ¿De cuántas maneras se pueden ocupar las cinco primeras posiciones entre las 15 semifinalistas?
= 3003 Maneras de ocupar las 5 primeras posiciones
8.Una liga de fútbol esta integrada por 6 equipos. ¿Cuantos resultados diferentes posibles habrá en la temporada? (Supón que ningún equipo termina la temporada empatado con otro).
R/
6! = 720
6*5*4*3*2*1 = 720 Resultados diferentes en la temporada
10. La junta directiva de la compañia ABC esta compuesta por 15 miembros ¿De cuántas formas se puede elegir presidente, vicepresidente y secretario?
R/
n = 15 miembros
r = 3
15P3 = 15!/(15-3)! = 15!/12! = 15*14*13*12!/12! = 2730 Formas de elegir
11.Se va a elegir un comité de 5 miembros entre un grupo de 7 candidatos. ¿De cuantas formas se puede hacer esto? ¿De cuantas maneras si los 7 candidatos van a ocupar cargos distintos? ¿De cuantas maneras se pueden ocupar los cargos?
R/
n = 7 candidatos r = 5 miembros 7C5 = 7!/(7-5)!5! = 7!/2! = 7*6*5*4*3*2!/2! = 420 Maneras de ocupar los cargos
1. ¿ De cuantas maneras distintas un director de un laboratorio de investigación puede seleccionar a tres químicos de entre once solicitantes? R/ 11C3 = 11!/(11-3)!3! = 11!/ 8!3! = 11*10*9*8!/8!3! = 990/6 = 165 Maneras de selección
2.Cinco libros distintos de matemáticas, siete diferentes de física y tres diferentes de química se colocan en un estante. De cuantas formas distintas es posible ordenarlos si:
a. Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos
b. Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos R/ a.MMMMM = 5!FFFFFFF = 7! QQQ = 3! P5!P7!P3!P3! = 5172 Formas Diferentes b.MMMMM = 5!FFFFFFF QQQ P5!P10! = 435456000
3. En unas olimpiadas de matemáticas realizadas en Chile, participaron los estudiantes mas sobresalientes de los colegios en edades de 13 a 16 años. Si después de aplicadas varias pruebas y transcurridas 8 rondas eliminatorias, clasificaron a la fase final 6 delegaciones: Argentina, Venezuela, Ecuador, Brasil, Colombia y Chile.
a. ¿De cuantas formas se puede obtener campeón y subcampeón del evento?
b. Encontrar el número de elementos del evento que consiste en que la delegación de Brasil no será campeona ni subcampeona de las olimpiadas.
c. Calcular el número de elementos del evento que consiste que Venezuela y Chile no ocuparan ninguno de los dos primeros lugares.
R/ a. 6P2 = 6!/(6-2)! = 6!/4! = 6*5*4!/4! = 30 Formas b. 5P2 = 5!/(5-2)! = 5!/3! = 5*4*3!/3! = 20 Formas c. 4P2 = 4!/(4-2)! = 4!/2! = 4*3*2!/2! = 12 Formas
4.Marcela acostumbra a apostar a números de tres dígitos, y sus números favoritos son 3, 4, 7 o 9. La casa de apuestas en la que ella juega, paga dos veces el premio si el numero ganador tiene los tres dígitos iguales y, otorga una oportunidad de jugar gratis el domingo, si el día sábados el numero ganador termina en 7. Hallar la probabilidad de:
a. El número ganador sea uno de los preferidos de Marcela, dado que ahí repetición de dígitos b. El número ganador sea uno de los preferidos de Marcela, dado que NO hay repetición de dígitos c. El número ganador reciba el doble premio y sea uno de los favoritos de Marcela d. El numero ganador que le otorgue una oportunidad de jugar gratis el día domingo y sea uno de los preferidos por Marcela e. El numero ganador sea mayor que 1000 f. El numero ganador sea menor que 1000 R/ Los dígitos posibles son: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 10
10^3=1000
, tres dígitos en cada uno 10 posibilidades
a.Los
números posibles con los preferidos es 4/3 ya que tenemos 4
posibilidades para cada uno de los 4 números. 4^3 = 4*4*4 = 64.
Se
tienen 64
números de los 1000 posibles , la probabilidad es 64/1000
= 0.064
b.
Variaciones de 4 elementos tomados de 3 en 3 = 4!/(4-3)! = 4!/1 =
4*3*2 = 24 Tenemos
24 números de los 1000 posibles , la probabilidad es 24/1000
= 0.024
c.Solo
hay 4 posibles 333,444,777,999 Tenemos
4 números de los 1000 posibles
la probabilidad es 4/1000
= 0.004
d. El ultimo debe ser 7, por lo que disponemos de tres números (3,4,9)
para las dos primeras posiciones
3^2 = 9
posibilidades
la probabilidad es 9/100
=0.09 (el total es 100 y no 1000 ya que el ultimo numero ya esta
fijado)
e.
Si son tres dígitos del 0 al 9 el mayor numero posible es 999 y
menor que 1000, por lo que la probabilidad que sea mayor que 1000
es
0/1000
= 0
f.Si
son tres dígitos del 0 al 9 el mayor numero posible es 999 y es
menor que 1000, por lo que los 10^3 = 1000 números son posibles,por
lo que la probabilidad que sea menor que 1000 es
1000/1000
= 1
5. Un maestro de economía acostumbra a iniciar la clase preguntándole a uno de los estudiantes acerca de los cambios de los valores representativos del mercado, como el dolar, petróleo y el café. Cada estudiante debe observar los noticieros, leer periódico o consultar en Internet y deducir que sectores de la economía se están beneficiando con estos cambios y cuales no. Antes de iniciar la clase, se sabe que de los 34 estudiantes, 19 vieron los noticieros, 16 consultaron el periódico y 11 investigaron en Internet. Ademas, 6 vieron el noticiero y consultaron en Internet, 7 vieron las noticias y consultaron el periódico, 6 leyeron el periódico y consultaron en Internet, 3 investigaron en los 3 medios, y el resto no hicieron la investigación. Sean: N el conjunto formado por los estudiantes que observaron los noticieros, P el conjunto formado por los estudiantes que leyeron el periódico,I el conjunto de los estudiantes que consultaron en Internet.
a. Elaborar un diagrama de Venn que represente el numero de elementos de los conjuntos Hallar la probabilidad de que el estudiante seleccionado: b. Haya visto el noticiero c. Haya leído el periódico y consultado en Internet d. No haya consultado en Internet e. Haya visto el noticiero o no haya consultado en Internet f. Haya leído el periódico, pero no vio el noticiero g. No haya hecho la investigación R/
El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo, el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupan un puesto directivo ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?.
Se dispone de 3 cajas de bombillos, la primera contiene 10 bombillos de las cuales hay 4 fundidas, en la segunda hay 6 bombillas estando 1 de ellas fundidas y la tercera caja hay 3 bombillas fundidas en un total de 8 ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una de cualquiera de las cajas este fundida?
En el contexto probabilístico, denominamos suceso a cualquier subconjunto de un espacio muestral; esto es, a cualquier posible resultado de un experimento aleatorio.
Suceso elemental
Un suceso se dice que es un suceso elemental si está formado por un único elemento del espacio muestral. Por ejemplo, al tirar un dado el suceso consistente en obtener un cinco.
Suceso Compuesto
Un suceso se dice que es un suceso compuesto si está formado por más de un elemento del espacio muestral. En el mismo ejemplo anterior obtener un número par, es decir, que salga un 2 o un 4 o un 6.
Entre los diferentes sucesos destacaremos los siguientes:
Suceso seguro
El suceso seguro es aquél que está formado por todos los resultados posibles del espacio muestral (E), es decir aquél que se cumple siempre. Por ejemplo al tirar un dado cúbico obtener un número del uno al seis.
Suceso imposible
El suceso imposible es aquél que no ocurre nunca. Se expresa con el símbolo Ø. Por ejemplo, obtener un ocho al tirar un dado cúbico.
Suceso contrario o complementario de otro suceso
Se define el suceso contrario a A como el suceso que acontece cuando no ocurre A. EL suceso contrario a obtener un número par es obtener uno impar. Suele denotarse como:
Unión de Sucesos:
Sean dos sucesos aleatorios A y B dentro de un espacio muestral. Se define la Unión de dos Sucesos A y B (o la Suma de dos Sucesos) como:
A ∪ B = suceso formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B
Propiedades de la Unión de Sucesos:
La unión de sucesos tiene las siguientes propiedades:
Propiedad Conmutativa: A ∪ B = B ∪ A
Propiedad Asociativa: A ∪ (B∪C)= (A ∪ B)∪ C
Propiedad Impotente:A ∪ A = A
Propiedad de Simplificación: A ∪ (A∩B)= A
Propiedad Distributiva: A ∪ (B∩C)= (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Elemento Neutro: A ∪ Ø= A
Absorción:A ∪ E = E, donde E es el espacio muestral al que pertenece el suceso A
Ejemplos:
Experimentoaleatoriode tirar un dado de 6 caras. Sean los sucesos A y B siguientes:
Suceso A = que salga un número par = {2, 4, 6}
Suceso B = que salga un múltiplo de 3 = {3, 6}
A ∪ B = {2, 4, 6} ∪ {3, 6} = {2, 3, 4, 6}
El experimentoaleatoriode tirar un dado de 6 caras. Sean los sucesos A y B siguientes:
Suceso A = que salga un número par = {2, 4, 6}
Suceso B = que salga un número mayor de 4 = {5, 6}
A ∪ B = {2, 4, 6} ∪ {5, 6} = {2, 4, 5, 6}
PROBABILIDAD CONDICIONAL
El concepto de probabilidad condicional surge cuando se quiere obtener la probabilidad de un evento A, y se tiene conocimiento que ya ocurrió otro evento B, relacionado al primero se denota conla cual se puede interpretar como probabilidad de A dado B.
Ejemplo: el evento B es tener la gripe, y el evento A es tener dolor de cabeza, sería la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se está enfermo de gripe.
Hace referencia a la agrupación de entes o elementos que posee una o varias características en común ( pueden ser finitos o infinitos ).
Los elementos de los conjuntos pueden ser personas, numero , colores , letras , figuras etc. Se dice que un elemento o miembro pertenece al conjunto si esta definido como un incluido de algún modo dentro de el. ( se define mediante una propiedad que todos poseen ).
Es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar que tipo de elementos se están utilizando o de otro modo, cual es el conjunto universal.
Ejemplo : Si se habla de números naturales el complementario de los números primos P
es el conjunto de los números no primos c , que esta formando por los números compuestos.
{ 2,3,5,7,..} { 1,4,6,8,9,...}
A su vez, el conjunto C es el complementario del conjunto P
C: UNIÓN E INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS.
UNIÓN: Es el resultado de un nuevo conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos , escrito con símbolos, la unión de 2 conjuntos EJ: G y H se denota así.
6 ∪ H Siqueremos expresarlo en diagramas de venn, deben primero representarse todos los elementos en sus respectivos conjuntos y luego incluyen todos (sin repetirlos) un mismo diagrama Ejemplo :
✱Intersección de conjuntos :Es definir un nuevo conjunto formado solo por aquellos elementos que estén presentes en todos los conjuntos en cuestión en otras palabras solo forman parte del nuevo conjunto, los elementos que tengan en común.
6 ∩ H
Ejemplo:
6: { a,b,c,d,e,f,g,h } H: { a, e , i , o , u } 6 ∩ H: { a, e }
D: DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS : La diferencia entre conjuntos es una operación que da como resultado otro conjunto con los elementos del 1 conjunto sin los elementos del 2 conjunto.
Ej: La diferencia entre el conjunto de los números naturales N y el conjunto de los números pares P es el conjunto de los números que no son pares, es decir, los impares 1.
N : { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12..}
P : { 2,4,6,8,10,12... }
I : { 1,3,5,7,9,11.. }
Ej:A: { a,b,c,d,e } y B: { a,e ,i,o }
La diferencia : A - B : { b,c,d }
E: DIFERENCIA SIMÉTRICA: (A ∆ B) Es el conjunto de los elementos del conjunto universal que pertenecen a A o a B pero no a los 2 a la vez.
F: EXPERIMENTO ALEATORIO: Los experimentos aleatorios, son aquellos en los que nos se pueden predecir el resultado, si se puede predecir el resultado es un experimento determinista.
Ejemplo:Lanzar una moneda es un experimento aleatorio ya que no sabes si se obtendrá cara o sello.
Otro ejemplo:Encontrar la probabilidad de obtener un 7 (que la suma sea 7) en un par
de dados perfectos.
Obtener un 7 quiere decir que la suma de los números obtenidos en los
dados sume 7.
Usando la definición clásica de la probabilidad, tenemos que dividir el
número de casos favorables entre el número de casos posibles.
El número total de casos posibles son todas las combinaciones de los 6 números
del primer dado con los 6 números del segundo dado; es decir, 6 x 6 = 36
De los 36 resultados posibles de lanzar dos dados, suman 7, que son los
casos favorables, los siguientes:
(6; 1);(5; 2);(4; 3);(3; 4);(2;
5);(1; 6), es decir, 6; por lo tanto la probabilidad es:
P (obtener un 7) = 6 /36 = 1/6
G: ESPACIO MUESTRAL: Es el grupo de todos los resultados específicos que se pueden obtener tras una experimentación de carácter aleatorio, a cada uno de sus componentes se le define como puntos maestrales, o simplemente muestras.
Ejemplo:Si lanzamos un dado, tenemos en total 6 posibilidades de resultado que pueden salir, por lo tanto el espacio muestral sería 6 elementos. E=(1,2,3,4,5,6)
H:EVENTOS Y CLASES DE EVENTOS:
Evento (suceso) es una o más de los posibles resultados de un experimento, cuando un evento consta de un solo posible resultado recibe el nombre de"evento simple" ,pero si está integrado por 2 o más se llama "evento compuesto".
I. PROBABILIDAD SIMPLE:
Es igual a la cantidad de formas en que un resultado específico va a suceder entre la cantidad total de posibles resultados.
Ejemplo:
Supongamos que una persona tiene 12 pares de medias, 5 de las cuales son marrones y 7 son negra todo mezclado, si se despierta todas las mañanas con poco tiempo y cuando abre el cajón saca un par sin mirar ¿Qué probabilidad tiene de sacar una marrón?
P= 5/12=0,4 0.4 *100 = 40% Media color marrón
P= 7/12= 0,6 0.6*100 = 60% Media Negra
J: TÉCNICAS DE CONTEO :
Las técnicas de conteo son una serie de métodos de probabilidad para contar el numero posible de arreglos dentro de un conjunto o varios conjuntos de objetos. estas se usan cuando realizar las cuentas de forma manual se convierte en algo complicado debido a la gran cantidad de objetos y/ o variables.
Por ejemplo : Imagínate que tu jefe te pide que cuentes los últimos productos que ha llegado en la ultima hora. En este caso podrías ir y contar uno a uno los productos
Sin embargo, imagina que el problema de este: Tu jefe te pide que cuentes cuantos grupos de 5 productos del mismo tipo pueden formarse con los que han llegado la ultima hora. En este caso, el calculo se complica. Para este tipo de situaciones se utilizan las llamadas técnicas de conteo.
Estas técnicas son varias, pero las mas importantes se dividen en dos principios básicos, que son el multiplicativo y el adictivo; las permutaciones y las combinaciones.
İ: PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN:
El principio multiplicativo es una técnica que se utiliza para resolver problemas de conteo para hallar la solución sin que sea necesario enumerar sus elementos. Es conocido también como el principio fundamental del análisis combinatorio; se basa en la multiplicación sucesiva para determinar la forma en la que puede ocurrir un evento
Este principio establece que si una decisión (d1) puede ser tomada de n maneras y otra decisión (d2) puede tomarse de m maneras , el numero total de maneras en las que pueden ser tomadas las decisiones d1 y d2 sera igual a multiplicar de n * m. Según el principio, cada decisión se realiza una tras otra: numero de maneras = N1 * N2....* Nx maneras
EJEMPLO:
Paula planea ir al cine con sus amigas, y para escoger la ropa que usara, separo 3 blusas y 2 faldas. ¿De cuantas maneras se puede vestir paula?
SOLUCIÓN.
En este caso, Paula debe de tomar dos decisiones :
d1= Escoger entre 3 blusas = n
d2= Escoger entre 2 faldas = m
De esta manera paula tiene n * m decisiones a tomar o maneras diferentes de vestirse.
n * m = 3* 2 = 6 decisiones
El principio multiplicativo nace de la técnica del diagrama de árbol, que se trata de un diagrama que relaciona todos los posibles resultados, de manera que cada uno pueda ocurrir un numero finito de veces.
ⅱ. DIAGRAMAS DE ÁRBOL : Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el calculo de la probabilidad se requiere conocer el numero de elementos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción del diagrama de árbol.
El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta de una serie de pasos , donde cada uno de estos tiene un numero infinito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.
ⅲ: PERMUTACIONES .
Permutaciones es una forma de ordenar o arreglar a la totalidad de los elementos de un conjunto. se simboliza por Pn = n! o también como nPn = n! se lee como permutaciones de elementos tomados de n en n. El símbolo n! se lee n factorial y se desarrolla de la siguiente manera : 8!=8x7x6x5x4x3x2x1 se puede escribir también : 8!= 8x7x6x5!
A ∪ B = suceso formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B
Ejemplo: Si lanzamos un dado, tenemos en total 6 posibilidades de resultado que pueden salir, por lo tanto el espacio muestral sería 6 elementos. E=(1,2,3,4,5,6)
Ejemplo:
Este principio establece que si una decisión (d1) puede ser tomada de n maneras y otra decisión (d2) puede tomarse de m maneras , el numero total de maneras en las que pueden ser tomadas las decisiones d1 y d2 sera igual a multiplicar de n * m. Según el principio, cada decisión se realiza una tras otra: numero de maneras = N1 * N2....* Nx maneras 
la cual se puede interpretar como probabilidad de A dado B.
