VIDEO JOHANA MILENA CABRERA

EJERCICIO N°3 TEOREMA DE BAYES

Un equipo de liga menor de una organización juega el 70% de sus partidos en la noche y el 30% durante el día, el equipo gana el 50% de sus juegos nocturnos y el 90% de los diurnos, de acuerdo con esto el equipo gano ayer ¿Cuál es la probabilidad de que el partido se haya desarrollado en la noche?

PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES

TEOREMA DE LA  PROBABILIDAD TOTAL 

El siguiente teorema denominado teorema probabilidad total o regla de eliminación permite hallar la probabilidad de un evento A cuando el espacio muestral S sea dividido en varios eventos B1,B2,B3,… hasta Bx.

Si los eventos B1, B2, B3….Bk constituyen una división muestral del espacio S de tal forma que la probabilidad de Bi ≠ 0 para i=1,2,3, …, k, entonces, para cualquier evento A en S se tiene lo siguiente.

P (A) = ∑^k _i=1 P (Bi) * P (A)(Bi) = ∑^k _i=1  P (A n Bi)

r =3

i = 1, 2, 3

Si un suceso se puede obtener por mas de un camino del diagrama de árbol, su probabilidad se obtiene sumando las probabilidades de todos los caminos de ese suceso.

Este resultado se puede generalizar del siguiente modo:

Sean A1,A2,.......,An un sistema completo de sucesos tal que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquiera para el que se conocen las probabilidades de B/A1, entonces la probabilidad del suceso B vine dada por la siguiente expresión, resultado que se conoce como el Teorema de Probabilidad Total

 EJEMPLOS

 

TEOREMA DE BAYES

Sea A1, A2,....... An, un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquiera para el que se conocen las probabilidades P(A/B). El teorema de Bayes establece que las probabilidades P(A1/B) vienen dadas por la siguiente expresión:  

EJEMPLO

TALLER POBABILIDADES

1. Un estudios sobre los gustos musicales de los estudiantes en una universidad, se encuestó un total de 70 estudiantes, quienes manifestaron sus gustos de la siguiente manera: 

20 la música Salsa    23 el Rock   40 las Baladas  10 Baladas y Salsa   13 Baladas y Rock

13 Baladas y Rock    5 Rock y Salsa   3 Salsa, Rock y las Baladas

Mediante un diagrama de Venn determine el número de estudiantes que les gusta:

a. Solamente baladas 

b. La Salsa y el Rock pero no las baladas

c. El Rock y las Baladas pero no la Salsa

R/ 

2. Un producto se arma en tres etapas. En la primera etapa hay 5 lineas de armado, en la segunda 4 lineas de armado y en la tercera 6 lineas de armado. ¿ De cuantas formas puede moverse el producto en el proceso de armado ?

R/

Principio de la Multiplicación

5*4*6 = 120

3. En Colombia las placas de los carros están formados por tres números y tres letras.

a. ¿ Cuántas placas se pueden generar en estas condiciones?   

R/

Se puede escoger de 10 maneras diferentes así que:

3 números 10*10*10 = 1000

3 letras 26 maneras diferentes 

26*26*26 = 17576

17576*1000 = 17576000

b. En el caso que para una ciudad como Medellín se asignen solamente las placas cuya primera letra es M o N. ¿ Cuantos automóviles pueden estar matriculados en Medellin? 

R/

Las letras serian 24 entonces se dice que:

24*24*24 = 13824 + 1000 = 13824000

4. Un vendedor de automóviles nuevos quiere impresionar a sus clientes potenciales con la cantidad posible de diferentes combinaciones de que se dispone. Un modelo presenta tres tipos de motores, dos transmisiones, cinco colores de carrocería y dos colores de interiores. ¿ Cuantas posibilidades de elección existen respecto a estas opciones?  

R/  

Principio de la Multiplicación

3*2*5*2 = 60 posibilidades de elección

5. Explique la diferencia entre Permutaciones y Combinaciones

R/ 

6. Se juegan 5 dados ¿ De cuantas maneras pueden caer?

R/

5 Dados x 6 Caras  = 30 caras

n= 30 caras

r = 5 dados

nCr= n!/(n-r)!r!

30C5 = 30!/(30-5)!5! = 30!/25!5! = 30*29*28*27*26*25!/25!5! = 17100720/120 

= 142506 Formas de Caer

7. En un concurso de belleza se suele escoger primero 15 semifinalistas y luego se eligen 5 finalistas ¿De cuántas maneras se pueden ocupar las cinco primeras posiciones entre las 15 semifinalistas? 

R/

n = 15 Semifinalistas 

r = 5 Finalistas

15C5 = 15!/(15-5)!5! = 15!/10!5! = 15*14*13*12*11*10!/10!5! = 360360/120 

= 3003 Maneras de ocupar las 5 primeras posiciones

8. Una liga de fútbol esta integrada por 6 equipos. ¿Cuantos resultados diferentes posibles habrá en la temporada? (Supón que ningún equipo termina la temporada empatado con otro).

R/ 

6! = 720

6*5*4*3*2*1 = 720 Resultados diferentes en la temporada

10. La junta directiva de la compañia ABC esta compuesta por 15 miembros ¿De cuántas formas se puede elegir presidente, vicepresidente y secretario?

R/ 

n = 15 miembros

r = 3

15P3 = 15!/(15-3)! = 15!/12! = 15*14*13*12!/12! = 2730 Formas de elegir  

11. Se va a elegir un comité de 5 miembros entre un grupo de 7 candidatos. ¿De cuantas formas se puede hacer esto? ¿De cuantas maneras si los 7 candidatos van a ocupar cargos distintos? ¿De cuantas maneras se pueden ocupar los cargos?

R/

n = 7 candidatos
r = 5 miembros 

7C5 = 7!/(7-5)!5! = 7!/2! = 7*6*5*4*3*2!/2! = 420 Maneras de ocupar los cargos

SEMANA 4 - TALLER PARCIAL

TALLER PARCIAL

1. ¿ De cuantas maneras distintas un director de un laboratorio de investigación puede seleccionar a tres químicos de entre once solicitantes? 

R/ 11C3 = 11!/(11-3)!3! = 11!/ 8!3! = 11*10*9*8!/8!3! = 990/6 = 165 Maneras de selección

2. Cinco libros distintos de matemáticas, siete diferentes de física y tres diferentes de química se colocan en un estante. De cuantas formas distintas es posible ordenarlos si:

 a. Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos

 b. Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos

R/ 

 a.  MMMMM = 5! FFFFFFF = 7!  QQQ = 3!   P5!P7!P3!P3! = 5172 Formas Diferentes 

b.  MMMMM = 5! FFFFFFF QQQ     P5!P10! = 435456000
                     

3. En unas olimpiadas de matemáticas realizadas en Chile, participaron los estudiantes mas sobresalientes de los colegios en edades de 13 a 16 años. Si después de aplicadas varias pruebas y transcurridas 8 rondas eliminatorias, clasificaron a la fase final 6 delegaciones: Argentina, Venezuela, Ecuador, Brasil, Colombia y Chile.

  a. ¿De cuantas formas se puede obtener campeón y subcampeón del evento?

  b. Encontrar el número de elementos del evento que consiste en que la delegación de            Brasil no será campeona ni subcampeona de las olimpiadas.

  c. Calcular el número de elementos del evento que consiste que  Venezuela y Chile no        ocuparan ninguno de los dos primeros lugares.

R/ 

a.  6P2 = 6!/(6-2)! = 6!/4! = 6*5*4!/4! = 30 Formas 

b. 5P2 = 5!/(5-2)! = 5!/3! = 5*4*3!/3! = 20 Formas

c. 4P2 = 4!/(4-2)! = 4!/2! = 4*3*2!/2! = 12 Formas

4. Marcela acostumbra a apostar a números de tres dígitos, y sus números favoritos son 3,  4, 7 o 9. La casa de apuestas en la que ella juega, paga dos veces el premio si el numero ganador tiene los tres dígitos iguales y, otorga una oportunidad de jugar gratis el domingo, si el día sábados el numero ganador termina en 7. Hallar la probabilidad de: 

  a. El número ganador sea uno de los preferidos de Marcela, dado que ahí repetición de          dígitos  
  b. El número ganador sea uno de los preferidos de Marcela, dado que NO hay repetición          de dígitos
  c. El número ganador reciba el doble premio y sea uno de los favoritos de Marcela
  d. El numero ganador que le otorgue una oportunidad de jugar gratis el día domingo y            sea uno de los preferidos por Marcela
  e. El numero ganador sea mayor que 1000
  f. El numero ganador sea menor que 1000  

R/

Los dígitos posibles son: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9   10

10^3=1000 , tres dígitos en cada uno 10 posibilidades

a. Los números posibles con los preferidos es 4/3 ya que tenemos 4 posibilidades para cada uno de los 4 números. 4^3 = 4*4*4 = 64.

Se tienen 64 números de los 1000 posibles , la probabilidad es
64/1000 = 0.064

b. Variaciones de 4 elementos tomados de 3 en 3 = 4!/(4-3)! = 4!/1 = 4*3*2 = 24
Tenemos 24 números de los 1000 posibles , la probabilidad es
24/1000 = 0.024

c. Solo hay 4 posibles 333, 444, 777, 999
Tenemos 4 números de los 1000 posibles 

la probabilidad es 4/1000 = 0.004

d. El ultimo debe ser 7, por lo que disponemos de tres números (3,4,9) para las dos primeras posiciones

3^2 = 9 posibilidades

la probabilidad es 9/100 =0.09 (el total es 100 y no 1000 ya que el ultimo numero ya esta fijado)

e. Si son tres dígitos del 0 al 9 el mayor numero posible es 999 y menor que 1000, por lo que la probabilidad que sea mayor que 1000 es

0/1000 = 0

f. Si son tres dígitos del 0 al 9 el mayor numero posible es 999 y es menor que 1000, por lo que los 10^3 = 1000 números son posibles,por lo que la probabilidad que sea menor que 1000 es

1000/1000 = 1

5. Un maestro de economía acostumbra a iniciar la clase preguntándole a uno de los estudiantes acerca de los cambios de los valores representativos del mercado, como el dolar, petróleo y el café. Cada estudiante debe observar los noticieros, leer periódico o consultar en Internet y deducir que sectores de la economía se están beneficiando con estos cambios y cuales no. Antes de iniciar la clase, se sabe que de los 34 estudiantes, 19 vieron los noticieros, 16 consultaron el periódico  y 11 investigaron en Internet. Ademas, 6 vieron el noticiero y consultaron en Internet, 7 vieron las noticias y consultaron el periódico, 6 leyeron el periódico y consultaron en Internet, 3 investigaron en los 3 medios, y el resto no hicieron la investigación. Sean: N el conjunto formado por los estudiantes que observaron los noticieros, P el conjunto formado por los estudiantes que leyeron el periódico, I el conjunto de los estudiantes que consultaron en Internet.

a. Elaborar un diagrama de Venn que represente el numero de elementos de los conjuntos 

Hallar la probabilidad de que el estudiante seleccionado:

  b. Haya visto el noticiero
  c. Haya leído el periódico y consultado en Internet
  d. No haya consultado en Internet
  e. Haya visto el noticiero o no haya consultado en Internet
  f. Haya leído el periódico, pero no vio el noticiero 
  g. No haya hecho la investigación  

R/

VIDEO MARÍA EUGENIA LÓPEZ

EJERCICIO N° 2  TEOREMA DE BAYES

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo, el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupan un puesto directivo ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?.

VIDEO XIOMARA MORALES

Ejercicio N° 1 de Probabilidad Total

Se dispone de 3 cajas de bombillos, la primera contiene 10 bombillos de las cuales hay 4 fundidas, en la segunda hay 6 bombillas estando 1 de ellas fundidas y la tercera caja hay 3 bombillas fundidas en un total de 8 ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una de cualquiera de las cajas este fundida?

SEMANA 3 OPERACIONES CON SUCESOS

En el contexto probabilístico, denominamos suceso a cualquier subconjunto de un espacio muestral; esto es, a cualquier posible resultado de un experimento aleatorio. 

Suceso elemental

Un suceso se dice que es un suceso elemental si está formado por un único elemento del espacio muestral. Por ejemplo, al tirar un dado el suceso consistente en obtener un cinco.

Suceso Compuesto

Un suceso se dice que es un suceso compuesto si está formado por más de un elemento del espacio muestral. En el mismo ejemplo anterior obtener un número par, es decir, que salga un 2 o un 4 o un 6. 

Entre los diferentes sucesos destacaremos los siguientes:

Suceso seguro

El suceso seguro es aquél que está formado por todos los resultados posibles del espacio muestral (E), es decir aquél que se cumple siempre. Por ejemplo al tirar un dado cúbico obtener un número del uno al seis.

Suceso imposible

El suceso imposible es aquél que no ocurre nunca. Se expresa con el símbolo Ø. Por ejemplo, obtener un ocho al tirar un dado cúbico.

   

Suceso contrario o complementario de otro suceso

Se define el suceso contrario a A como el suceso que acontece cuando no ocurre A. EL suceso contrario a obtener un número par es obtener uno impar. Suele denotarse como: 

 

Unión de Sucesos:

Sean dos sucesos aleatorios A y B dentro de un espacio muestral. Se define la Unión de dos Sucesos A y B (o la Suma de dos Sucesos) como: 

A ∪ B = suceso formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B

Propiedades de la Unión de Sucesos:

La unión de sucesos tiene las siguientes propiedades:

• Propiedad Conmutativa:  A ∪ B = B ∪ A
• Propiedad Asociativa: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
• Propiedad Impotente: A ∪ A = A
• Propiedad de Simplificación: A ∪ (A ∩ B) = A
• Propiedad Distributiva: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
• Elemento Neutro: A ∪ Ø = A
• Absorción: A ∪ E = E, donde E es el espacio muestral al que pertenece el suceso A

Ejemplos:

Experimento aleatorio de tirar un dado de 6 caras. Sean los sucesos A y B siguientes:

• Suceso A = que salga un número par = {2, 4, 6}
• Suceso B = que salga un múltiplo de 3 = {3, 6}

A ∪ B = {2, 4, 6} ∪ {3, 6} = {2, 3, 4, 6}

El experimento aleatorio de tirar un dado de 6 caras. Sean los sucesos A y B siguientes:

• Suceso A = que salga un número par = {2, 4, 6}
• Suceso B = que salga un número mayor de 4 = {5, 6}

A ∪ B = {2, 4, 6} ∪ {5, 6} = {2, 4, 5, 6}

PROBABILIDAD CONDICIONAL

El concepto  de probabilidad condicional surge cuando se quiere obtener la probabilidad de un evento A, y se tiene conocimiento que ya ocurrió otro evento B, relacionado al primero se denota con la cual se puede interpretar como probabilidad de A dado B.

Ejemplo: el evento B es tener la gripe, y el evento A es tener dolor de cabeza,  sería la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se está enfermo de gripe.